Principis/tmi-practicum-2018-2019
1
0
Fork 0
Code Releases Activity

Last changes to report

Browse Source
This commit is contained in:
Ruben
2019-05-24 09:24:30 +02:00
parent 5c63b24b80
commit 6372fa0d80
1 changed files with 6 additions and 6 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

12
verslag/verslag.tex
View File

@@ -23,7 +23,7 @@
\maketitle
\section{Inleiding}
In dit practicum bespreken we algoritmes die de onderlinge snijpunten van willekeurige cirkels bepalen. We trachten algoritmes met vooropgestelde complexiteit te ontwerpen en analyseren. Dit doen we door eerst en vooral een hoogniveau beschrijving van de algoritmes op te stellen (Sectie \ref{hoogniveau}) en deze dan te implementeren. Hierna testen we de respectievelijke implementaties op hun rekencomplexiteit (Sectie \ref{exp}) door de rekentijd te meten en te plotten (Sectie \ref{comp}).
In dit practicum bespreken we algoritmes die de onderlinge snijpunten van willekeurige cirkels bepalen. We trachten algoritmes met vooropgestelde complexiteit te ontwerpen en analyseren. Dit doen we door eerst en vooral een hoogniveau beschrijving van de algoritmes op te stellen (Sectie \ref{hoogniveau}) en deze dan te implementeren. Hierna testen we de respectievelijke implementaties op hun rekencomplexiteit (Sectie \ref{exp}) door de rekentijd te meten en te plotten (Sectie \ref{comp}). Ook bewijzen we dat de algoritmes correct zijn aan de hand van een correctheidsbewijs van één van de algoritmes (Sectie \ref{cor}).
\section{Hoogniveau beschrijving van de algoritmen}
\label{hoogniveau}
@@ -48,7 +48,7 @@
\end{algorithm}
\subsection{Doorlooplijnalgoritme $O(N^2)$}
Het tweede algoritme dat we beschouwen, is een algoritme gebaseerd op het concept van een verticale doorlooplijn. We slaan het begin- en eindpunt van elke cirkel op en sorteren deze punten op basis van de x-coördinaat. Hierna gaan we van klein naar groot door al deze punten en markeren we cirkels bij het startpunt als actief. Bij het eindpunt worden ze weer inactief. Elke keer we een startpunt tegenkomen, bepalen we alle snijpunten van deze nieuwe cirkel met alle andere actieve cirkels. De complexiteit in het slechtste geval, zijnde wanneer alle cirkels tegelijkertijd actief zijn, zorgt voor het zoeken van snijpunten met alle andere cirkels zoals in algoritme \ref{algo1}, wat via dezelfde redenering een rekencomplexiteit van de grootte-orde $N^2$ oplevert.
Het tweede algoritme dat we beschouwen, is een algoritme gebaseerd op het concept van een verticale doorlooplijn. We slaan het begin- en eindpunt van elke cirkel op en sorteren deze punten op basis van de x-coördinaat. Hierna gaan we van klein naar groot door al deze punten en markeren we cirkels bij het startpunt als actief. Bij het eindpunt worden ze weer inactief. Elke keer we een startpunt tegenkomen, bepalen we alle snijpunten van deze nieuwe cirkel met alle andere actieve cirkels. De complexiteit in het slechtste geval, zijnde wanneer alle cirkels tegelijkertijd actief zijn, zorgt voor het zoeken van snijpunten met alle andere cirkels zoals in algoritme \ref{algo1}, wat via dezelfde redenering een rekencomplexiteit van de grootte-orde $N^2$ oplevert.\\
\begin{algorithm}[H]
\{$cirkels$: lijst van cirkels met een middelpunt en een straal\}\\
@@ -85,7 +85,7 @@
\subsection{Doorlooplijnalgoritme $O((N+S)log_2(N))$}
Het derde en laatst beschouwde algoritme is een variant op algoritme \ref{algo2}, maar dan met efficiëntere gegevensstructuren. Het concept hierbij is hetzelfde, maar in plaats van het nagaan van de snijpunten met alle andere actieve cirkels, worden de actieve cirkels gesorteerd in een binaire boom-structuur op basis van de volgorde waarin ze de doorlooplijn snijden. Ervan uitgaande dat maximaal twee cirkels elkaar in hetzelfde punt snijden, werkt dit omdat vlak voor de snijding van twee cirkels, deze opeenvolgende cirkels zijn. De binaire boom-structuur garandeert een complexiteit van $log_2(N)$ voor het zoeken in de boom. Aangezien er $N$ cirkels zijn en er voor deze $N$ telkens de voorganger en opvolger gezocht dient te worden, vinden we een complexiteit van $2Nlog_2(N)$. Dit is $O(Nlog_2(N))$ en dus zeker ook $O((N+S)log_2(N))$.
Het derde en laatst beschouwde algoritme is een variant op algoritme \ref{algo2}, maar dan met efficiëntere gegevensstructuren. Het concept hierbij is hetzelfde, maar in plaats van het nagaan van de snijpunten met alle andere actieve cirkels, worden de actieve cirkels gesorteerd in een binaire boom-structuur op basis van de volgorde waarin ze de doorlooplijn snijden. Dit werkt omdat vlak voor de snijding van twee cirkels, deze opeenvolgende cirkels zijn. De binaire boom-structuur garandeert een complexiteit van $log_2(N)$ voor het zoeken in de boom. Aangezien er $N$ cirkels zijn en er voor deze $N$ telkens de voorganger en opvolger gezocht dient te worden, vinden we een complexiteit van $2Nlog_2(N)$. Dit is $O(Nlog_2(N))$ en dus zeker ook $O((N+S)log_2(N))$.
\begin{algorithm}[H]
\{$cirkels$: lijst van cirkels met een middelpunt en een straal\}\\
@@ -132,7 +132,7 @@
Wanneer een getal kleiner is, duidt dit op een kleinere stijging bij een verdubbeling van de grootte van de invoer en dus ook een kleinere stijging van de grafiek ten opzichte van de grafiek met het grotere getal. Wanneer we dus een gelijkaardige waarde uitkomen voor de testwaarden en de complexiteitsfunctie, kunnen we besluiten dat de complexiteitsfunctie de complexiteit van de testwaarden voldoende benaderd. De concrete resultaten van onze experimenten zijn te vinden in Sectie \ref{comp}.
\section{Correctheid van het algoritme}
\section{Correctheid van het algoritme}\label{cor}
Om de correctheid van de drie algoritmes na te gaan, bewijzen we eerst de correctheid van het simpele algoritme. Hierna voeren we een groot aantal testen uit waarbij zowel het simpele algoritme als een van de andere algoritmes uitgevoerd worden. Na het uitvoeren vergelijken we de uitvoer met elkaar, waarin we nagaan of de resultaten op kleine afrondingsfouten na, hetzelfde zijn. Indien dit zo is voor het grote aantal testen, gaan we ervan uit dat het andere algoritme correct is.
@@ -158,7 +158,7 @@
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[scale=.8]{simpel_doubling.png}
\includegraphics[scale=.7]{simpel_doubling.png}
\caption{Tabel met de doubling ratio van het simpele algoritme.}
\label{tab1}
\end{figure}
@@ -179,7 +179,7 @@
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.9\textwidth]{doorloopeff_doubling.png}
\includegraphics[scale=.7]{doorloopeff_doubling.png}
\caption{Tabel met de doubling ratio van het efficientere doorlooplijnalgoritme.}
\label{tab3}
\end{figure}